Послідовність вивчення теми

Методика вивчення теми "Нерівності" у початковій школі.

Робота над нерівностями ведеться з 1 класу, органічно поєднуючись з вивченням арифметичного матеріалу. Програма з математики для  класів 1-4 ставить завдання виконувати порівняння чисел з метою встановлення відносин "більше", "менше", "дорівнює"; навчити записувати результати порівняння за допомогою знаків «>», «<», «=» і читати отримані нерівності.

Числові нерівності учні одержують у результаті порівняння заданих чисел. Тому знаками «>», «<», «=» з'єднуються не будь-які два числа, не будь-які два висловлювання, а лише ті, між якими існують зазначені відносини. Якщо одне число більше (менше) іншого чи один вираз має значення більше (менше), ніж інший вираз, то, з'єднані відповідним знаком, вони утворюють нерівність. Таким чином, спочатку у молодших школярів формуються поняття лише про істинні нерівності.

Однак у процесі роботи над рівняннями, виразами і нерівностями зі змінною учні, підставляючи різні значення змінної, накопичують спостереження і переконуються в тому, що рівності та нерівності бувають як істинні, так і хибні. Такий підхід до розкриття понять визначає відповідну методику роботи над рівностями, нерівностями, рівняннями. 

Ознайомлення з нерівностями в початкових класах безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації і арифметичних дій.

Порівняння здійснюється спочатку на основі порівняння множин, яке виконується, як відомо, за допомогою встановлення взаємно однозначної відповідності. Цьому способу порівняння множин навчають дітей у підготовчий період і на початку вивчення нумерації чисел першого десятка. Попутно виконується рахунок елементів множин і порівняння отриманих чисел (гуртків 7, трикутників 5, гуртків більше, ніж трикутників, 7 більше, ніж 5). Надалі при порівнянні чисел учні спираються на їх місце в натуральному ряді: 9 менше, ніж 10, тому що за рахунку число 9 називають перед числом 10; 5 більше, ніж 4, бо за рахунку число 5 називають після числа 4.

Встановлені відносини записуються за допомогою знаків «>», «<», «=» . Учні вправляються у читанні і запису нерівностей.

Згодом при вивченні нумерації чисел в межах 100, 1000, а також нумерації багатозначних чисел порівняння чисел здійснюється або на основі зіставлення їх за місцем у натуральному ряді, або на основі розкладу чисел по десятковому складом і порівняння відповідних розрядних чисел, починаючи з вищого розряду (75 > 48, тому що 7 десятків більше, ніж 4 десятка; 75> 73, так як десятків порівну, а одиниць у першому числі більше, ніж у другому). 

Порівняння величин спочатку виконується з опорою на порівняння самих предметів за даною властивістю, а потім здійснюється на основі порівняння числових значень величин, для чого задані величини виражаються в однакових одиницях виміру. Порівняння величин викликає труднощі в учнів, тому, щоб навчити цієї операції, треба систематично в 1-4 класах пропонувати різноманітні вправи, наприклад: 

1) Підберіть рівну величину: 7 км 500 м = □ м, 3080 кг = □ т □ кг.

2) Підберіть числові значення величин, щоб запис вірною: □ год <□ хв, □ см = □ дм □ см, □ т □ ц = □ кг;

3) Вставте найменування у величин так, щоб запис була вірною: 16 хв> 16 ... 

Подібні вправи допомагають дітям засвоїти не лише поняття рівних і нерівних величин, але і відносини одиниць виміру. 

Перехід до порівняння виразів здійснюється поступово. Спочатку в процесі вивчення додавання і віднімання в межах 10 діти тривалий час вправляються у порівнянні вираження і числа (числа і вирази). Перші нерівності виду 3 +1> 3, 3-1 <3 корисно отримувати з рівності (3 = 3), супроводжуючи перетворення відповідними операціями над множинами. Наприклад, на класному набірному полотні і на партах відкладено 3 трикутника і 3 гуртка і записано: 3 = 3. Учитель пропонує дітям присунути до 3 трикутниках ще 1 трикутник і записати це (3 +1 - запис під трикутниками). Число гуртків не зменшилася (3). Учні порівнюють кількість трикутників і гуртків і переконуються, що трикутників більше, ніж гуртків (4> 3), значить, можна записати: 3 +1> 3 (три плюс один більше, ніж три). Аналогічна робота ведеться над нерівністю 3-1 <3 (три мінус один менше, ніж три). 

Надалі вираз і число (число і вираз) учні порівнюють, не вдаючись до операцій над множинами; знаходять значення виразу і порівнюють його із заданим числом, що відбивається в записах: 

5 +3> 5 2 <7-4 7 = 4 +5 

8> 2 травня <3 7 = 7 

Після знайомства з назвами виразів учні читають рівності та нерівності так: сума чисел 5 і 3 більше, ніж число 5; число 2 менше, ніж різниця чисел 7 і 4, і т.п. 

Спираючись на операції над множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють найважливіші властивості рівностей і нерівностей (якщо а> b, то b <а). 

Діти бачать, що якщо кружечків і трикутників порівну (рис.1), то можна сказати, що кружечків стільки ж, скільки трикутників (3 +2 = 5), а також трикутників стільки, скільки гуртків (5 = 3 +2). Якщо ж предметів не порівну (рис.2), то одних - більше (3 + 1> 3), а інших менше (3 <3 + 1).
○○○●●

∆∆∆∆∆

Рис.1

∆∆∆▲

○○○

Рис.2
Нерівності зі змінною виду: х +3 <7, 10-х> 5, х-4> 12, 72: х <36 вводяться в 2 класі. Заздалегідь ведеться відповідна підготовча робота: включаються вправи, в яких змінна позначається не буквою, а "віконечком" (квадратом), наприклад: □> 0, 6 +4> □, 7 + □ <10 і т.д. Учням пропонується підібрати таке число, щоб отримати правильний запис. При виконанні таких вправ вчитель повинен спонукати дітей до підстановки різних чисел; наприклад, у нерівності   □> 0 можна підставити число 1 (1> □), можна 2 (2> □), можна З (3> □) і т.д.

Після того як названо кілька чисел, корисно узагальнити спостереження (наприклад, у другому нерівності можна підставити будь-яке число, яке менше 10-від 0 до 9).
Розглядаючи в 2 класі, наприклад, нерівність х +3 <10, учні шляхом підбору знаходять, при яких значеннях літери х значення суми х +3 менше, ніж 10. У кожному такому завданні дається безліч чисел - значень змінної. У результаті такої роботи вибирають значення змінної, при яких дана нерівність є істинною.
Терміни "розв’язати нерівність", "розв’язання нерівності" не вводяться в початкових класах, оскільки в багатьох випадках обмежуються підбором тільки кількох значень змінної, при яких виходить істинна нерівність.
Пізніше у вправах з нерівностями значення змінної не даються, учні самі підбирають їх. Такі вправи, як правило, виконуються під керівництвом вчителя.
Можна ознайомити дітей з таким прийомом підбору значень змінної у нерівності. Нехай дано нерівність 7∙k <70. Спочатку встановлюють, при якому значенні k дана нерівність (7∙k)=70 (при k = 10). Щоб нерівність була менша, ніж 70, слід множник брати менше, ніж 10. Учні виконують підстановку чисел 9, 8 і т.д. до нуля, обчислюють і порівнюють отримані значення виразу із заданим (70) і називають відповідь.

Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, а також допомагають засвоєнню арифметичних знань. Наприклад, підставляючи різні числові значення компонентів, діти накопичують спостереження про зміну результатів дій залежно від зміни одного з компонентів. Тут уточнюються знання дітей про конкретному сенсі кожної дії (так, підставляючи значення від'ємника, діти переконуються в тому, що від'ємник не більше зменшуваного і т.п.). Підбираючи значення літери в нерівностях і рівностях виду: 5+х=5, 5-х=5; 10∙х=10, 10∙х<10, учні закріплюють знання особливих випадків обчислень. Працюючи з нерівностями, учні закріплюють уявлення про змінну і готуються до вирішення нерівності в 4 класі. 

Відповідно до програми у 1-3 класах розглядаються рівняння першого ступеня з одним невідомим види: 

7+х=10, х-3=10+5, х∙(17-10)=70, х:2+10=30

Невідоме число спочатку знаходять підбором, а пізніше на основі знання зв'язку між результатом і компонентами арифметичних дій (тобто знання способів знаходження невідомих компонентів). Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями.
Нерівність із змінною

Розв’язування нерівностей у початкових класах не є обов’язковою вимогою програми. Нерівності розглядають у порядку ознайомлення (а це означає, що такі завдання не включаються в контрольні роботи). Вправи з нерівностями виступають здебільшого як цікаві завдання на порівняння виразу із змінною з даним числом. Термін «розв’язати нерівність» не вводиться, бо здебільшого обмежується кількома значеннями змінної, при яких утворюється правильна нерівність «з віконцями» зустрічаються вже у 2(1) класі. Учням пропонують дібрати число, яке треба вставити «у віконце» (замість зірочки), щоб дістати правильну нерівність або рівність. Наприклад:

1. Перепиши, поставивши у клітинку потрібне число:

25+8>25+□

16-5>15-□

40-12<40-□

34+10<34+□

2. Добери такі числа, щоб нерівності і рівності були правильними:

5∙6>5∙*

7∙4<7∙*

6∙6+6=6∙*

У ході опрацювання таких вправ учитель спонукає дітей, щоб вони назвали різні числа. Упорядкувавши числа, корисно подати узагальнення. Наприклад, у нерівність 4+*<10 можна підставити будь-які числа, які менша від 6. Вперше нерівності із змінною розглядаються в кінці вивчення табличного множення і ділення, їх теж розвязують методом добору, усно. Наведемо приклад: з чисел 65, 70, 75 і 80 випишіть ті значення х, за яких нерівність х-65<8 правильна.

Бесіда. Підставимо числові значення х у нерівність, обчислимо різницю і порівняємо результат з числом 8.

65-65=0, 0<8, отже, число 65 підходить;

70-65=5, 5<8, тому число 70 також підходить;

75-65=10, 10>8, тому число 75 не підходить;

80-65=15, 15>8, тому число 80 не підходить.

Відповідь: 65, 70.

Складнішими є завдання, в яких не вказується множина значень змінної. Серед них учні повинні вибрати ті, за яких вказана нерівність є правильною. Учні самі добирають такі закінчення змінної. Наприклад:

Знайди 2 таких значення k, щоб нерівність k∙7>40 була правильною.

Слабші учні будуть надавати  букві k значень, починаючи з одиниці, а сильніші виходячи із знання таблиць множення, можуть відразу запропонувати ті значення букви k, за яких нерівність буде правильною. Якщо пропонують знайти всі значення змінної, за яких нерівність правильна, то в кількісному значення їх множина не чисельна. Наприклад, для нерівності х-20<8 вона складається з восьми чисел: 20, 21,22, 23, 24, 25, 26, 27. Проте правомірне розвязування нерівностей з такими відповідями, як х>10, х<10. Аналізуючи нерівність х-40>0, учень міркує так: «можна буде відняти, якщо зменшуване дорівнюватиме 40 або більше від 40. Але 40-40=0».